Математическая модель результатов измерения погрешности измерения. Модель погрешности в виде случайной элементарной функции. Требования к методологии математического моделирования систематических погрешностей средств измерений

Математические модели

Построенные выше физические модели крайне важно описать с помощью символов в виде математических формул и уравнений. Эти символы – параметры объектов (они же обозначают физические величины) – связаны между собой в виде выше сформулированных физических законов.

Совокупность формул и уравнений, устанавливающих связь между этими параметрами (физическими величинами) на базе законов физики и полученных в рамках выбранных физических моделœей, будем называть математической моделью объекта или процесса.

Следовательно, о физических величинах можно говорить как о параметрах, характеризующих и качественно, и количественно построенные физические модели.

Процесс создания математической модели можно также разделить на 3 этапа:

Этап 1. Составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействия объектов в рамках выбранных физических моделœей.

Этап 2. Решение и исследование сугубо математических задач сформулированных на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, ᴛ.ᴇ. получение теоретических следствий и численных данных. На этом этапе важную роль играет математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

Этап 3. Выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений с результатами измерений в пределах точности последних. Отклонение результатов расчётов от результатов измерений свидетельствует:

Либо о неправильности применённых математических методов;

Либо о неверности принятой физической модели;

Либо о неверности процедуры измерений.

Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.

Бывает, что при построении математической модели некоторые её характеристики или связи между параметрами остаются неопределёнными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. К примеру: иногда оказывается, что число уравнений, описывающих свойства объекта и связи между объектами, меньше числа параметров (физических величин), характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные уравнения, характеризующие объект и его свойства, иногда даже пытаются угадать эти свойства, для того, чтобы задача была решена, а результаты соответствовали результатам опытов в пределах заданной погрешности. Подобного образа задачи называются обратными.

Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, ᴛ.ᴇ. проблема соответствия модели объекта и реального объекта͵ является ключевой проблемой в теории познания. Сегодня общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт. Модель адекватна объекту, в случае если результаты теоретических исследований (расчёт) совпадают с результатами опыта (измерений) в пределах погрешности последнего.

Погрешности имеют место не только при измерениях, но и при теоретическом моделировании. Для теоретических моделœей, в соответствии с природой возникновения, будем различать:

Погрешности, возникающие при разработке физической модели;

Погрешности, возникающие при составлении математической модели;

Погрешности, возникающие при анализе математической модели;

Погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.

В последнем случае, к примеру, число π в рамках символической записи как отношение длины окружности к диаметру представляет собой точное число, но попытка записать его в численном виде (π=3,14159265…) вызывает погрешность, связанную с конечным числом разрядов.

Перечисленные погрешности возникают всœегда. Избежать их невозможно, и их называются методическими . При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.

Пример : погрешности физической и математической модели маятника, возникающие при измерении периода колебаний маятника в виде тела, подвешенного на нити.

Физическая модель маятника :

Нить – невесома и нерастяжима;

Тело – материальная точка;

Трение отсутствует;

Тело совершает плоское движение;

Гравитационное поле – однородное (ᴛ.ᴇ. g =const во всœех точках пространства, в которых находится тело);

Влияние других тел и полей на движение тела отсутствует.

Очевидно, что реальное тело не должна быть материальной точкой, оно имеет объём и форму, в процессе движения или со временем тело деформируется. Вместе с тем, нить имеет массу, она обладает упругостью и также деформируется. На движение маятника влияет движение точки подвеса, обусловленное действием вибраций, всœегда имеющих место. Также на движение маятника влияет сопротивление воздуха, трение в нити и способ ее крепления, внешние магнитное и электрическое поля, неоднородность гравитационного поля Земли и даже влияние гравитационного поля Луны, Солнца и окружающих тел.

Перечисленные факторы, в принципе, бывают учтены, однако сделать это достаточно трудно. Для этого потребуется привлечь почти всœе разделы физики. В конечном счете, учет этих факторов значительно усложнит физическую модель маятника и ее анализ. Не учет перечисленных, а также множества других, не упомянутых здесь факторов, существенно упрощает анализ, но приводит к погрешностям исследования.

Математическая модель маятника :

в рамках выбранной простейшей физической модели математическая модель маятника – дифференциальное уравнение движения маятника – имеет следующий вид:

, (1), где L – длина нити; φ – отклонение тела от положения равновесия.

При φ<<1 обычно считают, что sin φʼʼφ, и тогда уравнение движения записывается:.(2)

Это – линœейное дифференциальное уравнение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ должна быть решено точно. Данноерешение имеет вид , где . Отсюда следует, что период колебаний маятника Т 0 =2p/w 0 не зависит от амплитуды φ 0 . При этом, это решение нельзя считать точным решением задачи о колебаниях маятника, представленного простейшей физической моделью, поскольку исходное уравнение (1) было другим.

Можно уточнить решение. В случае если разложить sin φ в ряд и учесть хотя бы первые два члена разложения, ᴛ.ᴇ. считать, что sinφʼʼφ+φ 3 /6, то решение дифференциального уравнения существенно усложнится. Приближенно его можно записать в виде , где . Отсюда следует, что в данном приближении период колебаний маятника Т =2p/w зависит от амплитуды колебаний по параболическому закону.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, погрешность математической модели (уравнение (2)), связанная с заменой sin φ на φ, приводит к погрешности результата расчета периода колебаний маятника. Оценка этой погрешности должна быть получена из решения задачи во втором приближении.

Проблема построения и анализа математической модели объекта исследования с заданной точностью, а также оценка погрешности расчётов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный математический анализ и самой модели, и применяемых методов решения.

К примеру, не имеет смысла требование решения уравнения (1) с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели. В частности, в предыдущем примере нет смысла делать замену sinφʼʼφ+φ 3 /6 вместо sinφʼʼφ, в случае если нить заметно деформируется или сопротивление воздуха велико.

Применение ЭВМ значительно увеличило возможности построения и исследования математических моделœей в технике, однако не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и языков программирования позволит решить любую физическую и прикладную задачу. Дело в том, что даже самые изящные и точные методы расчетов не могут исправить ошибки, допущенные при построении физической модели. Действительно, в случае если длина L не постоянна, или если размеры тела сопоставимы с длиной нити, или трение велико и колебания маятника быстро затухают, то даже абсолютно точное решение уравнения (1) не позволит получить точное решение задачи о колебаниях маятника.

Общая характеристика понятия “измерение” (сведения из метрологии)

В метрологии определœение понятия “измерение” даёт ГОСТ 16.263-70.

Измерение – научно обоснованный опыт для получения количественной информации с требуемой или возможной точностью о параметрах объекта измерения.

Измерение включает в себя следующие понятия:

Объект измерения;

Цель измерения;

Условия измерения (совокупность влияющих величин, описывающих состояние окружающей среды и объектов);

Метод измерения, ᴛ.ᴇ. совокупность приёмов использования принципов и средств измерений (принцип измерения – совокупность физических явлений, положенных в основу измерения);

Методика измерения, ᴛ.ᴇ. установленная совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение необходимых результатов в соответствии с данным методом.

Средства измерения:

▪ измерительные преобразователи,

▪ измерительные приборы,

▪ измерительные установки,

▪ измерительные системы,

▪ измерительно-информационные системы;

Результаты измерений;

Погрешность измерений;

Понятия, характеризующие качество измерений:

▪ достоверность (характеризуется доверительной вероятностью, ᴛ.ᴇ. вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины находится в указанных пределах);

▪ правильность (характеризуется значением систематической погрешности);

▪ сходимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами и в одних и тех же условиях; отражает влияние случайных погрешностей на результат);

▪ воспроизводимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых в разных местах, разными методами и средствами, но приведенных к одним и тем же условиям).

Погрешности теоретических моделей - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Погрешности теоретических моделей" 2017, 2018.

Производственные погрешности можно рассматривать как случайные величины, описываемые вероятностными (теоретическими) и статистическими (экспериментальными) методами. Исчерпывающей характеристикой погрешности как случайной величины является закон распределения с конкретными значениями соответствующих параметров. Описанию распределений производственных погрешностей наиболее соответствует закон Гаусса с плотностью вероятности, рассчитываемой по формуле:

где т и σ – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

Распределение Гаусса неоднократно подтверждалось экспериментальными данными в диапазоне значений, соответствующих размаху ±3σ. В соответствии с этим распределением, погрешность совмещения в конкретной точке εх в направлении Х воспринимается как случайная величина, распределенная по нормальному закону, со следующими характеристиками:

(3.16)

где rx – коэффициент корреляции между величинами смещений соседних единичных участков в направлении X ; С2 x – число сочетаний из Х по 2, рассчитываемое из выражения

Из соотношений (3.15) и (3.16) выводится аналитическая запись плотности вероятности распределения величин:

Графики зависимости погрешностей совмещения от координат точек по одной оси, вытекающие из соотношения (3.18), показаны на рис. 3.59.

Рис. 3.59. Диаграмма погрешностей совмещения слоев в направлении Х

При наличии статистических данных могут быть найдены числовые характеристики распределения (3.18) для участка длиной L с шагом сетки h . Они находятся из соотношений:

(3.19)

где ML , σ L – соответственно математическое ожидание и дисперсия деформации участка длиной L ; – число сочетаний из L / h по 2.

Структурная схема измерительного устройства обычно представляется соединением звеньев, каждое из которых отражает математическую модель отдельного элемента или части ИУ.

Звено на структурной схеме И У условно обозначают в виде прямоугольника с указанием входной и выходной величин, а также передаточной функции звена внутри него. Если звено является безынерционным, то указывают функцию преобразования, коэффициент передачи, коэффициент чувствительности или статическую характеристику этого звена.

На рис. 3.1 показаны обозначения наиболее распространенных звеньев стационарных ИУ: безынерционного звена с нелинейной функцией преобразования у = f(x) (рис. 3.1, о), безынерционного звена с линейной пропорциональной функцией преобразования у = kx (рис. 3.1, б), инерционного линейного звена с передаточной функцией W(p) (рис. 3.1, в).

Рис. 3.1.

а - нелинейное безынерционное; 6 - линейное безынерционное; в - линейное инерционное; г - сумматор; д - сравнивающее устройство: е - с т входами и п выходами; ж - с двумя входами и одним выходом; з - с одним входом и двумя выходами

Здесь же показаны структурные схемы сумматора (рис. 3.1, г) и сравнивающего устройства (рис. 3.1, Э), для которых, соответственно, можно записать z-хл-у и z = x-y. Эти устройства также можно рассматривать в качестве звеньев структурной схемы ИУ, так как в общем случае звено может иметь несколько (т) входов и несколько (??) выходов (см. рис. 3.1, е). Например, мостовые схемы с двумя активными плечами имеют два входа и один выход (рис. 3.1, ж), а дифференциальные И У - один вход и два выхода (рис. 3.1, з ).

Звенья могут быть пронумерованы, а их передаточные функции, уравнения, или характеристики указаны вне структурной схемы. На рис. 3.2 показан пример такой структурной схемы. В этом случае ИУ состоит из двух безынерционных звеньев (линейного звена 1 (с характеристикой у х = 5х{) и нелинейного звена 2 (с характеристикой у 2 = У / (10 + у {))), одного линейного инерционного звена 3 с передаточной функцией W 3 (p) = 2/(р + 3), сравнивающего устройства и сумматора, определенным образом связанных между собой.

Рис. 3.2.

Справа от рисунка показана соответствующая система уравнений. Эта система уравнений и структурная схема И У эквивалентны. Однако, поскольку математическое описание одинаковых измерительных преобразований может быть различным, возможны разные варианты структурной схемы одного и того же ИУ.

При анализе статического режима измерений считается, что измеряемая величина и информативные параметры измерительного сигнала во всех точках структурной схемы И У не изменяются во времени. В этом случае в уравнении звена 3 следует принять dy^/dt = 0. Тогда система уравнений, описывающих структурную схему ИУ, примет вид

Исключая промежуточные переменные, найдем статическую характери стику ИУ

Видно, что вследствие нелинейности статической характеристики звена 2 общая статическая характеристика ИУ оказалась нелинейной. При малых изменениях измеряемой величины х можно вместо нелинейной характеристики звена 2 у 2 = */i/(10 + у х) использовать линеаризованную характеристику этого звена у 2 = yj 10. В этом случае вместо прежнего

результата получим у - - х.

В возмущенном режиме измерений структурная схема ИУ дополняется элементами, отражающими воздействие влияющих величин и помех (см. рис. 3.9). Их также можно считать постоянными или переменными, рассматривая соответственно возмущенный статический и возмущенный динамический режимы измерений.

Сведения о режиме измерений получают на основе анализа технического задания на проектирование средства измерений. В нем отражаются назначение и условия эксплуатации создаваемого ИУ. Используя эти данные, разрабатывают модель измерительного сигнала (7.1) и выявляют источники погрешностей измерений.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Министерство образования и науки РТ

ГБОУ ВПО Альметьевский Государственный Нефтяной Институт

«Автоматизации и информационных технологий»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Метрология, стандартизация и сертификация»

«Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений»

Студент: Сафин Р.И.

Группа: 34-61

Научный руководитель:

Анохина Е.С.

Альметьевск 2015

метрологический экспоненциальный погрешность логистический

Введение

3. Математические модели изменения во времени погрешности СИ

4. Расчетная часть

Список литературы

Введение

1. Основные понятия теории метрологической надежности

В процессе эксплуатации метрологические характеристики и параметры средства измерений претерпевают изменения. Эти изменения носят случайный монотонный или флуктуирующий характер и приводят к отказам, т.е. к невозможности СИ выполнять свои функции. Отказы делятся на неметрологические и метрологические.

Неметрологическим называется отказ, обусловленный причинами, не связанными с изменением метрологических характеристик средства измерений. Они носят главным образом явный характер, проявляются внезапно и могут быть обнаружены без проведения поверки.

Метрологическим называется отказ, вызванный выходом метрологических характеристик из установленных допустимых границ. Как показывают проведенные исследования, метрологические отказы происходят значительно чаще, чем неметрологические. Это обуславливает необходимость разработки специальных методов их прогнозирования и обнаружения. Метрологические отказы подразделяются на внезапные и постепенные.

Внезапным называется отказ, характеризующийся скачкообразным изменением одной или нескольких. Эти отказы в силу их случайности невозможно прогнозировать. Их последствия (сбой показаний, потеря чувствительности и т.п.) легко обнаруживаются в ходе эксплуатации прибора, т.е. по характеру проявления они являются явными. Особенностью внезапных отказов является постоянство во времени их интенсивности. Это дает возможность применять для анализа этих отказов классическую теорию надежности. В связи с этим в дальнейшем отказы такого рода не рассматриваются.

Постепенным называется отказ, характеризующийся монотонным изменением одной или нескольких метрологических характеристик. По характеру проявления постепенные отказы являются скрытыми и могут быть выявлены только по результатам периодического контроля СИ. В дальнейшем рассматриваются именно такие отказы.

С понятием "метрологический отказ" тесно связано понятие метрологической исправности средства измерений. Под ней понимается состояние СИ, при котором все нормируемые метрологические характеристики соответствуют установленным требованиям. Способность СИ сохранять установленные значения метрологических характеристик в течение заданного времени при определенных режимах и условиях эксплуатации называется метрологической надежностью. Специфика проблемы метрологической надежности состоит в том, что для нее основное положение классической теории надежности о постоянстве во времени интенсивности отказов оказывается неправомерным. Современная теория надежности ориентирована на изделия, обладающие двумя характерными состояниями: работоспособное и неработоспособное. Постепенное изменение погрешности СИ позволяет ввести сколь угодно много работоспособных состояний с различным уровнем эффективности функционирования, определяемым степенью приближения погрешности к допустимым граничным значениям.

Понятие метрологического отказа является в известной степени условным, поскольку определяется допуском на метрологические характеристики, который в общем случае может меняться в зависимости от конкретных условий. Важно и то, что зафиксировать точное время наступления метрологического отказа ввиду скрытого характера его проявления невозможно, в то время как явные отказы, с которыми оперирует классическая теория надежности, могут быть обнаружены в момент их возникновения. Все это потребовало разработки специальных методов анализа метрологической надежности СИ.

Надежность СИ характеризует его поведение с течением времени и является обобщенным понятием, включающим в себя стабильность, безотказность, долговечность, ремонтопригодность (для восстанавливаемых СИ) и сохраняемость.

Стабильность СИ является качественной характеристикой, отражающей неизменность во времени его метрологические характеристики. Она описывается временными зависимостями параметров закона распределения погрешности. Метрологические надежность и стабильность являются различными свойствами одного и того процесса старения СИ. Стабильность несет больше информации о постоянстве метрологических свойств средства измерений. Это как бы его "внутреннее" свойство. Надежность, наоборот, является "внешним" свойством, поскольку зависит как от стабильности, так и от точности измерений и значений используемых допусков.

Безотказностью называется свойство СИ непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени. Она характеризуется двумя состояниями: работоспособным и неработоспособным. Однако для сложных измерительных систем может иметь место и большее число состояний, поскольку не всякий отказ приводит к полному прекращению их функционирования. Отказ является случайным событием, связанным с нарушением или прекращением работоспособности СИ. Это обуславливает случайную природу показателей безотказности, главным из которых является распределение времени безотказной работы СИ.

Долговечностью называется свойство СИ сохранять свое работоспособное состояние до наступления предельного состояния. Работоспособное состояние -- это такое состояние СИ, при котором все его метрологические характеристики соответствуют нормированным значениям. Предельным называется состояние СИ, при котором его применение недопустимо.

После метрологического отказа характеристики СИ путем соответствующих регулировок могут быть возвращены в допустимые диапазоны. Процесс проведения регулировок может быть более или менее длительным в зависимости от характера метрологического отказа, конструкции СИ и ряда других причин. Поэтому в характеристику надежности введено понятие "ремонтопригодность". Ремонтопригодность -- свойство СИ, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, восстановлению и поддержанию его работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта. Оно характеризуется затратами времени и средств на восстановление СИ после метрологического отказа и поддержание его в работоспособном состоянии.

Как будет показано далее, процесс изменения MX идет непрерывно независимо от того, используется ли СИ или оно хранится на складе. Свойство СИ сохранять значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения и транспортирования называется его сохраняемостью.

Прежде чем перейти к рассмотрению показателей, характеризующих метрологическую надежность СИ, необходимо выяснить характер изменения во времени его метрологических характеристик.

2. Изменение метрологических характеристик средств измерений в процессе эксплуатации

Метрологические характеристики СИ могут изменяться в процессе эксплуатации. В дальнейшем будем говорить о изменениях погрешности A(t), подразумевая, что вместо нее может быть аналогичным образом рассмотрена любая другая метрологическая характеристика.

Следует отметить, что не все составляющие погрешности подвержены изменению во времени. Например, методические погрешности зависят только от используемой методики измерения. Среди инструментальных погрешностей есть много составляющих, практически не подверженных старению, например размер кванта в цифровых приборах и определяемая им погрешность квантования.

Изменение метрологических характеристик средств измерений во времени обусловлено процессами старения в его узлах и элементах, вызванными взаимодействием с внешней окружающей средой. Эти процессы протекают в основном на молекулярном уровне и не зависят от того, находится ли СИ в эксплуатации или хранится на консервации. Следовательно, основным фактором, определяющим старение СИ, является календарное время, прошедшее с момента их изготовления, т.е. возраст. Скорость старения зависит прежде всего от используемых материалов и технологий. Исследования показали, что необратимые процессы, изменяющие погрешность, протекают очень медленно и зафиксировать эти изменения в ходе эксперимента в большинстве случаев невозможно. В связи с этим большое значение приобретают различные математические методы, на основе которых строятся модели изменения погрешностей и производится прогнозирование метрологических отказов.

Задача, решаемая при определении метрологической надежности СИ, состоит в нахождении начальных изменений метрологических характеристик и построении математической модели, экстраполирующей полученные результаты на большой интервал времени. Поскольку изменение метрологических характеристик во времени -- случайный процесс, то основным инструментом построения математических моделей является теория случайных процессов.

Изменение погрешности СИ во времени представляет собой нестационарный случайный процесс. Множество его реализаций показаны на рис.1 в виде кривых i модулей погрешности. В каждый момент ti , tони характеризуются некоторым законами распределения плотности вероятности р(i) (кривые 1 и 2 на рис.1,а). В центре полосы (кривая cp(t)) наблюдается наибольшая плотность появления погрешностей, которая постепенно уменьшается к границам полосы, теоретически стремясь к нулю при бесконечном удалении от центра. Верхняя и нижняя границы полосы погрешностей СИ могут быть представлены лишь в виде некоторых квантильных границ, внутри которых заключена большая часть погрешностей, реализуемых с доверительной вероятностью Р. За пределами границ с вероятностью (1 - Р)/2 находятся погрешности наиболее удаленные от центра реализаций.

Для применения квантильного описания границ полосы погрешностей в каждом ее сечении t; необходимо знать оценки математического ожидания cp(ti) и СКО (ti) отдельных реализаций i. Значение погрешности на границах в каждом сечении ti равно (ti) = (ti), x k(ti), где k -- квантильный множитель, соответствующий заданной доверительной вероятности Р, значение которого существенно зависит от вида закона распределения погрешностей по сечениям. Определить вид этого закона при исследовании процессов старения СИ практически не представляется возможным. Это связано с тем, что законы распределения могут претерпевать значительные изменения о течением времени.

Для решения данной проблемы предлагается использовать общее для высокоэнтропийных симметричных законов распределения, свойство, состоящее в том, что при доверительной вероятности Р = 0,9 5%- и 95%-ный квантили отстоят от центра распределения cp(t) на ± l,6(t). Если предположить, что закон распределения погрешностей, деформируясь со временем, остается высоко-энтронкйным и симметричным, го 95% -ный квантиль нестационарного случайного процесса изменения погрешности во времени может быть описана уравнением 0,95(t) = cp(t) + l,6(t).

Метрологический отказ наступает при пересечении кривой i прямых ±пр. Отказы могут наступать в различные моменты времени в диапазоне от tmin до tmax (см. рис.1, а), причем эти точки являются точками пересечения 5%- и 95%-ного квантилей с линией допустимого значения погрешности. При достижении кривой 0б95(t) допустимого предела пр у 5% приборов наступает метрологический отказ. Распределение моментов наступления таких отказов будет характеризоваться плотностью вероятности pн(t), показанной на рис.1, б. Таким образом, в качестве модели нестационарного случайного процесса изменения во времени модуля погрешности СИ целесообразно использовать зависимость изменения во времени 95% -ного квантиля этого процесса.

Рис.1. Модель изменения погрешности во времени (а), плотность

распределения времени наступления метрологических отказов (б),

вероятность безотказной работы (в) и зависимость интенсивности

метрологических отказов от времени (г)

Показатели точности, метрологической надежности и стабильности СИ соответствуют различным функционалам, построенным на траекториях изменения его MXAs(t). Точность СИ характеризуется значением MX в рассматриваемый момент времени, а по совокупности средств измерений -- распределением этих значений, представленных кривой 1 для начального момента и кривой 2 для момента tj. Метрологическая надежность характеризуется распределением моментов времени наступления метрологических отказов (см. рис.1,6). Стабильность СИ характеризуется распределением приращений MX за заданное время.

3. Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений

3.1 Линейная модель изменения погрешности

В общем виде модель погрешности 0,95(t) может быть представлена в виде 0,95(t) = 0 + F(t), где D0 -- начальная погрешность СИ; F(t) -- случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.

Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:

где v скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования, данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лет. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.

Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис.1, а, где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.

Рис. 2. Линейный (а) и экспоненциальный (б, в) законы изменения погрешности

При метрологическом отказе погрешность D0,95(t) превышает значение Dпр=D0+nD3, где D3 -- значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора и его погрешность возвращается к исходному значению D0. По прошествии времени Тр= ti - ti-1 опять происходит отказ (моменты tt, t2, t3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис.1, а, которая может быть представлена уравнением

где n -- число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1 (рис.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности D0,95(t) при отсутствии отказов.

Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости v. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности D3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений D0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения v и запас погрешности D3 совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов -- уровнем культуры ремонтной службы пользователя.

Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности D0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия D0 (0,9... 0,95) Dпр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса D3, нормируемого по отношению к пределу Dпр.

Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают D3 = (0,4...0,5) Dпр, что при средней скорости старения v = = 0,05АП /год позволяет получать межремонтный интервал Тр= D3 = 1/Т/v = 8... 10 лет и частоту отказов р= 0,1... 0,125 год-1.

При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (1) все межремонтные интервалы Тр = 1/Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов р будет постоянной в течение всего срока эксплуатации. Однако проведенные экспериментальные исследования показали, что на практике это не выполняется.

3.2 Экспоненциальная модель изменения погрешности

В реальности для одних приборов межремонтные интервалы уменьшаются, для других -- увеличиваются. Это может быть объяснено тем, что погрешность СИ с течением времени экспоненциально возрастает или убывает. При ускоряющемся возрастании погрешности (рис.1) каждый последующий межремонтный интервал короче предыдущего, и частота метрологических отказов (t) с течением времени возрастает. При замедленном возрастании погрешности (рис.1,в) каждый последующий межремонтный интервал длиннее предыдущего и частота метрологических отказов (t) с течением времени убывает вплоть до нуля.

Для рассмотренных случаев изменения погрешности во времени описываются на основе экспоненциальной модели. В ней частота метрологических отказов

где 0 --- частота метрологических отказов на момент изготовления средства измерений (т.е. при t = 0), год-1; и -- положительное или отрицательное ускорение процесса метрологического старения, год-1(t) и при ее экспоненциальном изменении согласно формуле (3), рассчитывается как. Число отказов n(t) определяется через частоту отказов

Тогда изменение во времени погрешности СИ с учетом формулы (2) имеет вид

Указанная зависимость показана кривыми 1 на рис. 1, б и в.

Практическое использование формулы (5) требует знания четырех параметров: начального значения погрешности (D0), абсолютного запася погрешности (D3), начальной частоты метрологических отказов (0) при t = 0 и ускорения (а) процесса старения. Уравнения для определения названных параметров, получаемые из (5), оказываются трансцендентными, что существенно затрудняет их применение.

С целью упрощения использования уравнения (5) необходимо разложить в ряд экспоненциальную функцию и взять три первых члена этого разложения, В результате зависимость погрешности СИ от времени будет представлена в виде

где v -- начальная скорость возрастания погрешности, %; аD -- абсолютное значение ускорения изменения погрешности, %. В частном случае, когда а = 0, (6) превращается в линейное уравнение вида (1).

Выражение (6) имеет ясный физический смысл и позволяет путем аппроксимации экспериментальных данных о погрешностях СИ за 10-15 лет получить оценки коэффициентов v и а, а по ним рассчитать параметры уравнения (5) в виде 0 = v/D3 и а = а /(D30).

Расчет времени наступления метрологического отказа сводится к определению моментов пересечения кривой D0б95(t) постоянных уровней D0 + D3, D0 + 2D3, ..., D0 + nD3. Они могут быть найдены путем совместного решения уравнений (2) и (5). Момент наступления n-го отказа и соответственно длительность межремонтных периодов можно определить по формулам

Срок службы СИ -- это календарное время, прошедшее с момента его изготовления до конца эксплуатации. При положительном ускорении процесса старения (см. рис.2 б) частота отказов с увеличением срока службы возрастает и по истечении времени Тсл его приходится настолько часто ремонтировать, что эксплуатация становится экономически невыгодной, так как дешевле купить новый прибор. Экономическая целесообразность ремонта определяется отношением средней стоимости одного ремонта срк стоимости си нового средства измерений, названного относительной глубиной ремонта с = ср/сн. Срок службы СИ

Решая полученное уравнение совместно с первым выражением из (7), можно рассчитать общее число отказов (ремонтов) СИ в течение срока эксплуатации.

Пример 1. Для электромеханических измерительных приборов магнитоэлектрической системы класса точности 0,5 глубина ремонта составляет с = 0,3... 0,4; частота метрологических отказов на момент изготовления СИ 0 0,11 год-1, ускорение процесса старения а 0,19 год-1. Определите срок службы таких приборов и общее число отказов.

Срок службы прибора рассчитывается по формуле (8):

Уравнение для расчета общего числа отказов имеет вид

Подставив в него все числовые данные, получим

Данные расчета соответствуют экспериментальным данным, согласно которым средний срок службы рассматриваемых приборов составляет 11-12 лет, в течение которых они имеют по 4-6 ремонтов.

При отрицательном ускорении процесса старения СИ межремонтный период увеличивается. После некоторого числа ремонтов пЈон становится бесконечным, метрологические отказы не возникают и СИ работает до тех пор, пока морально не устареет. В этом случае (a < 0) число метрологических отказов

Погрешность СИ стремится к пределу, равному, согласно (3),

Экспоненциальная модель процесса старения позволяет описать изменения погрешности СИ при увеличении его возраста от„ года и практически до бесконечности. Однако данная модель имеет ряд недостатков. Для СИ с отрицательным ускорением процесса старения она прогнозирует при t стремление погрешности к предельному значению (13). В то же время для СИ с положительным ускорением модель прогнозирует неограниченное возрастание погрешности с течением времени, что противоречит практике.

3.3 Логистическая модель изменения погрешности

Некоторые из недостатков экспоненциальной модели старения удается устранить при использовании так называемой логистической модели. Кривые, описывающие процесс изменения погрешности СИ и частоты отказов, приведены на рис. 3. В области малых значений погрешности (0,2-1%) зависимость 0,95(t) экспоненциально ускоряется, а в области больших значений -- экспоненциально замедляется и при очень больших значениях времени выходит на некоторый предельный уровень, выше которого погрешность не возрастает. Кривая частоты метрологических отказов (см. рис. 3) при малых значениях времени возрастает, достигая своего максимума при некотором значении Тс, после которого начинается спад до нуля. Участки кривой D0,95(t), соответствующие диапазонам 1 и 2 изменения времени, не обязательно должны быть симметричны относительно точки (Dс, Тс). Ускорения процесса старения at и а2, как правило, имеют разные значения. Частота метрологических отказов на участках 1 и 2 соответственно равна

где 01, 02 -- начальные частоты метрологических отказов на участках 1 и 2. Абсцисса точки, разделяющей два участка,

Рис. 2, Логистическая модель временного изменения погрешности

Используя параметры логистической модели процесса старения, можно обоснованно прогнозировать моменты наступления метрологических отказов tn и изменение с возрастом наработки на отказ Тп. Момент наступления n-го метрологического отказа при t < Тс и t > Тс определяется соответственно по формулам:

Длительность межремонтных интервалов при

где n-- порядковый номер ремонта.

Проведенные экспериментальные исследования показали, что длительность межремонтных интервалов, начиная со второго, монотонно и ускоренно возрастает. Отличие первого интервала от последующих состоит в том, что на нем СИ работает с запасом нормируемого значения погрешности, обеспеченным изготовителем. На остальных межремонтных интервалах этот запас обеспечивается ремонтными службами предприятия. Многократное превышение первого интервала по сравнению с остальными указывает на то, что ремонтные запасы погрешности Dр предусматриваются во много раз меньшими, чем заводские запасы D3.

Кривая изменения погрешности D0,95(t) в случае использования логистической модели при t < Тс и t > Тс имеет соответственно вид

При практическом использовании приведенных в этом разделе формул необходимо помнить, что входящие в них параметры являются оценками, которые должны быть получены на основе обработки экспериментальных данных для достаточно представительных выборок однотипных СИ. Поэтому сами оценки параметров имеют определенный разброс, поскольку представляют собой некоторые средние оценки обследованной группы приборов, у отдельных экземпляров которых могут быть весьма существенные индивидуальные отклонения постоянных D0,95, D3, 01 и аi. В связи с этим все рассчитанные по приведенным формулам показатели должны рассматриваться лишь как средние прогнозируемые величины.

К недостаткам логистической модели следует отнести то, что она не позволяет описывать изменение погрешности СИ от момента изготовления прибора до нескольких месяцев его эксплуатации. Это связано с тем, что как в линейной, так и в экспоненциальной модели значение начальной погрешности считалось постоянной величиной, неизменной с момента изготовления СИ. В действительности указанная погрешность образуется из различных составляющих, возникающих на начальных стадиях эксплуатации СИ.

Одним из вариантов описания изменения погрешности СИ, начиная с первых секунд его эксплуатации, является спектральное описание погрешности. Оно позволяет подробно описать многие особенности изменения погрешности прибора. Главный недостаток спектрального описания состоит в очень большом объеме экспериментальных данных, необходимых для построения спектральных кривых.

Рассмотренные выше модели являются разновидностями модели нестационарного монотонного процесса изменения погрешности во времени. Их общий недостаток -- идеализация случайных процессов изменения метрологических характеристик средства измерений, которые представляются монотонными. При этом не учитываются флуктуационные, обратимые процессы изменения параметров и характеристик приборов. Данный недостаток в той или иной степени устранен в полиномиальной и диффузионной марковской моделях, а также в модели на основе процессов авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего.

4. Расчётная часть

Пример 1. Для электромеханических измерительных приборов магнито- электрической системы класса точности 0,5 глубина ремонта составляет с = 0,3... 0,4; частота метрологических отказов на момент изготовления ш0» 0,11 год1, ускорение процесса старения а я 0,19 год-1. Определите срок службы таких приборов и общее число отказов

Срок службы прибора рассчитывается по формуле (1):

Уравнение для расчёта общего числа отказов имеет вид

Подставив в него числовые данные, получим.

Данные расчёта соответствуют экспериментальным данным, согласно которым средний срок службы рассматриваемых приборов составляет 11-12 лет, в течение которых они имеют по 4-6 ремонтов.

При отрицательном ускорении процесса старения СИ межремонтный период увеличивается. После некоторого числа ремонтов n? он становится бесконечным, метрологические отказы не возникают и СИ работает до тех пор, пока морально не устареет. В этом случае (а < 0) число метрологических отказов.

Экспоненциальная модель процесса старения позволяет описать 141 изменения погрешности СИ при увеличении его возраста от года и Практически до бесконечности. Однако данная модель имеет ряд недостатков. Для СИ с отрицательным ускорением процесса старения на прогнозирует при стремление погрешности к предельному значению. В то же время для СИ с положительным ускорением модель прогнозирует неограниченное возрастание погрешности с течением времени, что противоречит практике. Некоторые недостатки экспоненциальной модели старения удается устранить при использовании так называемой логистической модели, а также полиномиальными и диффузионными марковскими моделями или моделями на основе процессов авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего. В технике используется большое число показателей надежности, которые приведены в стандарте ГОСТ 27.002--89. Основные из них находят применение и в теории метрологической надежности. Знание показателей метрологической надежности позволяет потребителю оптимально использовать СИ, планировать мощности ремонтных участков, размер резервного фонда приборов, обоснованно назначать межповерочные интервалы и проводить мероприятия по техническому обслуживанию и ремонту СИ. Метрологические отказы при эксплуатации СИ составляют более 60% на третьем году эксплуатации и достигают 96% при работе более четырех лет. В качестве показателей ремонтопригодности используются вероятность и среднее время восстановления работоспособности СИ. Вероятностью восстановления работоспособного состояния называется вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния СИ не превысит заданное значение. Она представляет собой значение функции распределения времени восстановления при t=T3 , где T3 -- заданное время восстановления. Средним временем восстановления работоспособного состояния называется математическое ожидание времени восстановления, определяемое до его функции распределения.

Пример 2. Отсчет по равномерной шкале прибора с нулевой отметкой и предельным значением 50 А составил 25 А. Пренебрегая другими видами погрешностей, оценить пределы допускаемой абсолютной погрешности этого отсчета при условии, что класс точности прибора равен: 0,02/0,01; ; 0,5.

1. Для прибора с классом точности 0,02/0,01, согласно формуле (12.4), при х = 25 A, xk = 50 А, с = 0,02, d = 0,01 (учитывая, что относительная погрешность выражается в процентах) получим

2. Для прибора класса точности

3. Для прибора класса точности 0,5, учитывая, что нормирующее значение xn равно пределу измерения 50 А, .получаем:

g = ±(100%)D/хN; D = ±50А(0,5%)/100 = ± 0,25 А.

Пример 3. Электроизмерительный преобразователь состоит из четырех транзисторов с интенсивностью отказов, восьми резисторов с и шести керамических сопротивлении с. Определить вероятность внезапного отказа этого средства измерений за 1000 ч работы.

Решение. Интенсивность отказов электроизмерительного преобразователя

2. Вероятность безотказной работы за 1000 ч

3. Вероятность отказа за это же время

В данной работе я изучил основные понятия теории метрологической надёжности. Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений.

На основе проделанной работы могу сделать следующие выводы: В процессе эксплуатации метрологические характеристики средств измерений меняются. Эти изменения носят случайный характер и в итоге приводят к отказу СИ.

Надёжность объекта зависит от количества факторов, характер воздействия которых, как правило, является случайным. В связи с этим подавляющее большинство количественных показателей надёжности имеют вероятностный характер и дают представление о надёжности всей совокупности изделий какого-либо определённого типа, но не позволяют оценить надёжность данного конкретного образца.

Список литературы

1. Земельман М. А. - Измерительная техника, 2011, № 4.

2. Земельман М. А., Кнюпфер А. П., Кузнецов В. П. - Измерительная техника 2010, № 2.

3. Учебники для студентов URL: http://uchebnik.biz/ (Дата обращения: 30.03.2015).

4.А.Г.Сергеев - Метрология

4. Большая Энциклопедия Нефти Газа, 2008-2014. URL: http://www.ngpedia.ru/id576581p3.html/. (Дата обращения: 30.03.2015).

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Исследование вычислительных систем неоднородной структуры. Применение программы GPSS для создания имитационной модели предложенной системы массового обслуживания. Оценка погрешности, переходного периода, чувствительности и устойчивости измерений.

курсовая работа , добавлен 20.07.2012


Определение понятий "функциональные и структурные математические модели", рассмотрение их значение, главных функций и целей. Составление модели "черного ящика", простейшее отображение реальной системы. Метод исследования объектов с помощью их моделей.

реферат , добавлен 17.11.2015


Определение среднего арифметического исправленных результатов многократных наблюдений, оценка среднего квадратического отклонения. Расчет доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения. Методика выполнения прямых измерений.

лабораторная работа , добавлен 26.05.2014


Прогноз курса доллара согласно линейной модели, показательной, модифицированной экспоненты, кривой Гомперца и логистической кривой. План объема продажи и структура товарооборота. Метод потенциалов для определения оптимального плана поставок продукции.

контрольная работа , добавлен 04.04.2012


Сущность метода наименьших квадратов. Экономический смысл параметров кривой роста (линейная модель). Оценка погрешности и проверка адекватности модели. Построение точечного и интервального прогноза. Суть графического построения области допустимых решений.

контрольная работа , добавлен 23.04.2013


Исследование линейной модели парной регрессии зависимости стоимости однокомнатных квартир от общей площади жилья. Пространственно-параметрическое моделирование рынка вторичного жилья. Особенности изменения среднего уровня цены в пространстве и во времени.

курсовая работа , добавлен 26.10.2014


Теория измерений является составной частью эконометрики, которая входит в состав статистики объектов нечисловой природы. Краткая история теории измерений. Основные шкалы измерения. Инвариантные алгоритмы и средние величины – в т. ч. в порядковой шкале.

реферат , добавлен 08.01.2009


Данные для разработки трендовой модели изменения объемов грузооборота предприятий транспорта. Проверка гипотезы на наличие тенденции. Понятие и обоснование периода упреждения прогноза. Выбор оптимальной прогнозной модели по коэффициенту детерминации.

курсовая работа , добавлен 01.10.2014


Решение задачи об оптимальной работе предприятия электронной промышленности, выпускающего две модели радиоприемников. Определение интервала изменения прибыли от продажи двух радиоприемников. Нахождение пределов изменения коэффициентов целевой функции.

курсовая работа , добавлен 17.12.2014


Характеристика зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя на основе полученных статистических данных (линейной зависимости). Расчет мультиколлинеарности между объясняющими переменными, анализ надежности оценок параметров модели.

Информационная коррекция переменных систематических погрешностей средств измерений и измерительных информационных систем

Рецензент: Туз Ю.М.
директор НИИ АЭИ, д.т.н., проф., лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники

Вступление

Требования к точности, правильности и сходимости средств измерений постоянно возрастают. Повышение требований обычно проводилось путем перехода от используемого к новому физическому принципу измерения, который и обеспечивал более высокие качества измерений. Одновременно совершенствовались методика и техника проведения измерений, ужесточались требования к комплексу нормальных (стандартных) условий, сопровождающих процесс измерений.

Любые измерительные прибор, система, канал «реагируют» не только на измеряемую величину, но и на внешнюю среду, т.к. неизбежно связаны с нею.

Хорошей иллюстрацией этого теоретического тезиса может быть влияние приливных волн, вызванных Луной в земной коре, на изменение энергии заряженных частиц, полученных на большом кольцевом ускорителе в Центре европейских ядерных исследований. Приливная волна деформирует 27-километровое (2,7·10 7 мм) кольцо ускорителя и изменяет длину пробега частиц по кольцу приблизительно на 1 мм (!). Это приводит к изменению энергии ускоренной частицы почти на десять миллионов электронвольт. Указанные изменения очень малы, но превышают возможную погрешность измерений примерно в десять раз и уже привели к серьезной ошибке в измерении массы бозона.

Постановка проблемы

Метрологическое обеспечение радиоэлектронных измерений может быть охарактеризовано следующей типичной проблематикой . Использование теоретических методов анализа влияния факторов внешней среды на погрешности средств измерений затруднительно. Характер влияния сложен, нестабилен, трудно интерпретируем с позиций логически-профессионального анализа специалистом; изменчив при переходе от экземпляра к экземпляру одного и того же типа средств измерений .

Отмечается методологическая сложность получения зависимостей неизвестного вида от нескольких переменных и то, что «...возможности исследования зависимостей погрешности от факторов внешней среды весьма ограничены и мало достоверны, особенно в отношении совместных влияний факторов и динамических изменений их значений» .

В результате приведенных причин и значительного разнообразия их проявления делается вывод, что для группы средств измерений одного типа наиболее адекватным описанием погрешностей средств измерений от влияющих факторов внешней среды следует признать зону неопределенности, границы которой определяются крайними зависимостями экземпляров .

Указанные трудности в решении проблемы уменьшения погрешностей средств измерений есть следствие системных свойств этих средств: эмергентности, целостности, неопределенности, сложности, стохастичности и др. . Попытки теоретического описания на уровне номографических наук в рассматриваемых ситуациях часто не эффективны. Необходим экспериментально-статистический подход, т. к. он позволяет провести идиографическое описание закономерности конкретных явлений в детальных условиях времени и места .

Как в радиоэлектронных измерениях , так и в обеспечении точности оценивания результатов количественного химического анализа отмечается важная особенность погрешностей: систематические погрешности результата для большинства средств измерений существенны в том смысле, что они превышают случайную, и погрешность данного экземпляра средства измерения в каждой точке факторного пространства определяется, в основном, постоянной величиной.

Для дальнейшего повышения качества проводимых измерений необходимо использовать не только физические – конструкторские, технологические, эксплуатационные – возможности, но и информационные. Они заключаются в реализации системного подхода в получении информации о всех видах погрешностей: инструментальных, методических, дополнительных, систематических, прогрессирующих (дрейфовых), модельных и возможно др. Имея такую информацию в виде многофакторной математической модели и зная значения факторов (условий), сопровождающих процесс измерения, можно получить информацию о приведенных погрешностях и, следовательно, более точно знать измеряемую величину.

Требования к методологии математического моделирования систематических погрешностей средств измерений

Необходимо разработать методику многофакторного математического моделирования закономерно изменяющихся систематических погрешностей с учетом следующих требований.

1. Системный подход к описанию систематических погрешностей с учетом множества факторов и, если необходимо, множества критериев качества средства измерения.
2. Прикладной уровень получения математических моделей, когда их структура исследователю не известна.
3. Эффективность (в статистическом смысле) получения полезной информации из исходных данных и отражение ее в математических моделях.
4. Возможность доступной и удобной содержательной интерпретации полученных моделей в предметной области.
5. Эффективность использования математических моделей в предметной области по сравнению с затратами ресурсов на их получение.

Основные этапы получения математических моделей

Рассмотрим основные этапы получения многофакторных математических моделей, соответствующих вышеприведенным требованиям.

Выбор плана многофакторного эксперимента, обеспечивающего необходимые свойства получаемых математических моделей

В рассматриваемом (метрологическом) классе проводимых экспериментальных исследований возможно использование полного и дробного факторного эксперимента. Под определяемой математической моделью будем понимать линейную относительно параметров и нелинейную в общем случае относительно факторов модель произвольно высокой, но конечной сложности. В расширенную матрицу эффектов полного факторного эксперимента будет входить столбец фиктивного фактора X 0 = 1, столбцы всех главных эффектов и всех возможных взаимодействий главных эффектов. Если эффекты факторов и взаимодействий факторов выразить в виде системы ортогональных нормированных контрастов, то матрица дисперсий-ковариаций примет вид:

где X – матрица эффектов полного факторного эксперимента;
σ y 2 – дисперсия воспроизводимости результатов опытов;
N – число опытов в плане эксперимента;
Е – единичная матрица.

Математическая модель, полученная по схеме полного факторного эксперимента, соответствует многим замечательным свойствам: коэффициенты модели ортогональны друг другу и в статистическом смысле независимы; максимально устойчивы (cond = 1); каждый коэффициент несет семантическую информацию о влиянии соответствующего эффекта на моделируемый критерий качества; план эксперимента соответствует критериям D -, A -, E -, G -оптимальности, а также критерию пропорциональности частот уровней факторов; математическая модель адекватна в точках аппроксимации поверхности отклика . Будем считать такую модель истинной и «наилучшей».

В тех случаях, когда использование полного факторного эксперимента невозможно по причине большого числа опытов, следует рекомендовать применять многофакторные регулярные (желательно равномерные) планы экспериментов. При правильном выборе числа необходимых опытов их свойства максимально близки к приведенным свойствам полного факторного эксперимента .

Получение структуры многофакторной математической модели

Структуру получаемой многофакторной математической модели, в общем случае не известной исследователю, необходимо определять, исходя из возможного множества эффектов, соответствующих множеству эффектов схемы полного факторного эксперимента. Она задается выражением :

где X 1 ,..., X k – факторы искомой математической модели;

s 1 ,..., s k – число уровней факторов X 1 ,..., X k ;

k – общее число факторов;

N п – число опытов полного факторного эксперимента, равное числу структурных элементов его схемы.

Поиск необходимых эффектов – главных и взаимодействий – в виде ортогональных контрастов для искомой модели осуществляется как многократная статистическая проверка гипотез о статистической значимости эффектов. В модель вводят статистически значимые эффекты.

Выбор числа необходимых опытов для дробного факторного эксперимента

Обычно исследователю известна (приближенно) информация о предполагаемой сложности влияния факторов на моделируемый критерий качества. Для каждого фактора выбирается число уровней его варьирования, которое должно быть на 1 больше максимальной степени полинома, необходимой для адекватного описания этим фактором поверхности отклика. Необходимое число экспериментов будет :

где s i – число уровней фактора X i ; 1 ≤ i ≤ k .

Коэффициент 1,5 выбирается для случая, когда число необходимых экспериментов значительно (порядка 50...64 и более). При меньшем необходимом числе экспериментов следует выбирать коэффициент 2.

Выбор структуры многофакторной математической модели

Для выбора структуры получаемой математической модели необходимо использовать разработанный алгоритм . В алгоритме реализована последовательная схема выделения необходимой структуры по результатам спланированного многофакторного эксперимента.

Обработка результатов экспериментов

Для комплексной обработки результатов экспериментов и получения необходимой информации для интерпретации результатов в предметной области разработано программное средство «Планирование, регрессия и анализ моделей» (ПС ПРИАМ) . Разработчик – лаборатория экспериментально-статистических методов кафедры технологии машиностроения Национального технического университета Украины «Киевский политехнический институт». Оценка качества получаемых математических моделей включает следующие критерии:

• получение информативного подмножества главных эффектов и взаимодействий факторов для принятия в качестве структуры искомой многофакторной математической модели;
• обеспечение максимально высокой теоретической эффективности (вплоть до 100%) извлечения полезной информации из исходных данных;
• проверка на статистическую значимость потенциальной математической модели;
• проверки различных предпосылок множественного регрессионного анализа;
• проверка на адекватность полученной модели;
• проверка на информативность, т.е. присутствие в математической модели полезной информации и ее статистической значимости;
• проверка на устойчивость коэффициентов математической модели;
• проверка фактической эффективности извлечения полезной информации из исходных данных;
• оценка семантичности (информационной) по полученным коэффициентам математической модели;
• проверка свойств остатков;
• общая оценка свойств полученной математической модели и возможности ее использования для достижения поставленной цели.

Интерпретация полученных результатов

Осуществляется специалистом (или специалистами), хорошо понимающими как формальные результаты в полученных моделях, так и те прикладные цели, для достижения которых должны быть использованы модели.

Математический метод получения полезной информации о систематических погрешностях, сопровождающих процесс измерения физической величины, и средство измерения создают надсистему со взаимодействием (иначе эмергентностью) между собой. Эффект взаимодействия – более высокая точность измеряемой величины – принципиально нельзя получить только за счет отдельных подсистем. Это следует из структуры математической модели Ŷ (ŷ 1 ,..., ŷ p) = f j (СИ, ММ) для эксперимента 2 2 //4 (отсутствие подсистемы задается «–1», а присутствие «1») указанных подсистем:

где Ŷ (ŷ 1 ,..., ŷ p) – вектор эффективности функционирования средства измерения, 1 ≤ j ≤ p ;

1 – символ среднего значения результата (условное начало отсчета);

СИ – результат измерения, полученный только от средства измерения;

ММ – информация, полученная по многофакторной математической модели о систематических погрешностях используемого средства измерения при знании внутренних и внешних относительно его условий проведения замеров;

СИ · ММ – эффект взаимодействия (эмергентность) средства измерения и математической модели при условии их совместного использования.

Повышение точности измерения достигается за счет получения большего объема информации об условиях измерения и свойствах средства измерения во взаимодействии с внутренней и внешней относительно его средой.

Сочетание физических и информационных принципов на практике означает интеллектуализацию известных систем, в частности, создание интеллектуальных средств измерений. Объединение физических и информационных принципов в единую интегральную систему позволяет принципиально по-новому решать старые проблемы.

Пример повышения точности измерения цифровых весов

Рассмотрим возможности предложенного подхода на примере повышения точности цифровых весов с диапазоном взвешивания 0...100 кгс. Датчик весов емкостного типа с автономным питанием от переносного источника напряжения. Весы предназначены для эксплуатации в диапазоне температуры окружающей среды (воздуха) 0...60°С. Напряжение от автономного источника напряжения в процессе эксплуатации весов может изменяться в диапазоне 12,3...11,7 В при расчетном (номинальном) значении 12 В.

Предварительное исследование цифровых весов показало, что изменения температуры окружающей среды и питаемого напряжения в вышеприведенных диапазонах сравнительно мало влияют на показания емкостного датчика и, следовательно, на результаты взвешивания. Однако стабилизировать эти внешние и внутренние условия с необходимой точностью и поддерживать их в процессе функционирования весов не представлялось возможным ввиду того, что весы должны эксплуатироваться не в стационарных (лабораторных) условиях, а на борту перемещающегося объекта.

Исследование точности весов без учета влияния изменений температуры и питаемого напряжения показали, что средняя абсолютная погрешность аппроксимации составляет 0,16%, а среднеквадратичная погрешность остатка (в единицах измерения выходной величины взвешивания) равна 53,92.

Для получения многофакторной математической модели были приняты следующие обозначения факторов и значения их уровней.

X 1 – гистерезис. Уровни: 0 (нагрузка); 1 (разгрузка). Фактор качественный.

X 2 – температура окружающей среды. Уровни: 0; 22; 60°C.

X 4 – измеряемый вес. Уровни: 0; 20; 40; 60; 80; 100 кгс.

Учитывая принятые уровни варьирования факторов и сравнительно не трудоемкий объем испытаний было решено провести полный факторный эксперимент, т.е. 2 · 3 2 · 6//108. Исходные данные испытаний были предоставлены проф. П.В. Новицким. Каждый опыт был повторен только один раз, что нельзя признать хорошим решением. Желательно повторение каждого опыта два раза. Предварительный анализ исходных данных показал, что они со значительной вероятностью содержат грубые ошибки. Эти опыты были повторены и их результаты были исправлены.

Натуральные значения уровней варьирования факторов были преобразованы в ортогональные контрасты, иначе в систему ортогональных полиномов Чебышева.

С использованием системы ортогональных контрастов структура полного факторного эксперимента будет иметь следующий вид:

(1 + x 1) (1 + x 2 + z 2) (1 + x 3 + z 3) (1 + x 4 + z 4 + u 4 + v 4 + ω 4) → N 108

где x 1 ,..., x 4 ; z 2 ,..., z 4 ; u 4 , v 4 , ω 4 – соответственно линейные, квадратичные, кубический, четвертой и пятой степени контрасты факторов X 1 ,..., X 4 ;
N 108 – число структурных элементов для схемы полного факторного эксперимента.

Все эффекты (главные и взаимодействия) были нормированы

где x iu (p) – значение p -го ортогонального контраста i -го фактора для u-й строки матрицы планирования, 1 ≤ u ≤ 108, 1 ≤ p ≤ s i – 1; 1 ≤ i ≤ 4.

Предварительный расчет математической модели показал, что в качестве оценки дисперсии воспроизводимости может быть выбрана (приближенно) величина 20,1.

Число степеней свободы (условно) принято V 2 = 108.

Дисперсия была использована для определения стандартной ошибки коэффициентов уравнения регрессии.

Вычисление математической модели и всех ее критериев качества было проведено с использованием ПС ПРИАМ. Полученная математическая модель имеет вид

ŷ = 28968,9 – 3715,13x 4 + 45,2083x 3 – 37,5229z 2 + 23,1658x 2 – 19,0708z 4 – 19,6574z 3 – 9,0094x 2 z 3 – 9,27434z 2 x 4 + 1,43465x 1 x 2 + 1,65431z 2 x 3 ,

(2)

x 1 = 2 (X 1 – 0,5);

x 2 = 0,0306122 (X 2 – 27,3333);

z 2 = 1,96006 (x 2 2 – 0,237337x 2 – 0,575594);

x 3 = 3.33333 (X 3 – 12);

z 3 = 1,5 (x 2 3 – 0,666667);

x 4 = 0,02 (X 4 – 50);

z 4 = 1,875 (x 2 4 – 0,466667);

u 4 = 3,72024 (x 3 4 – 0,808x 4);

v 4 = 7,59549 (x 4 4 – 1,08571x 2 4 + 0,1296).

Таблица 1

Критерии качества полученной математической модели

Анализ адекватности модели
Остаточная дисперсия	21,1084
Дисперсия воспроизводимости	20,1
Расчетное значение F -критерия	1,05017
Уровень значимости F -критерия для адекватности 0,05 для степеней свободы V 1 = 97; V 2 = 108
Табличное значение F -критерия для адекватности	1,3844
Табличное значение F -критерия (при отсутствии повторных опытов)	1,02681
Стандартная ошибка оценки	4,59439
Скоррект. с учетом степеней свободы	4,80072
Модель	адекватна
Прим.: Дисперсия воспроизводимости задана пользователем
Анализ информативности модели
Доля рассеивания объясняемая моделью	0,999997
Введено регрессоров (эффектов)	11
Коэффициент множественной корреляции	0,999999
(скоррект. с учетом степеней свободы)	0,999998
F отношение для R	3,29697·10 6
Уровень значимости F -критерия для информативности 0,01 для степеней свободы V 1 = 10; V 2 = 97
Табличное значение F -критерия для информативности	2,50915
Мoдель	информативна
Критерий Бокса и Веца для информативности	больше 49
Информативность модели	очень высокая

Таблица 2

Статистические характеристики коэффициентов регрессии

Наименование главного эффекта или взаимодействия главных эффектов	Коэффициент регрессии	Стандартная ошибка коэффициента регрессии	Вычисленное значение t -крит.	Доля участия в объяснении разброса моделируемой величины
x 4	b 1 = –3715,13	0,431406	5882,9	0,999557
x 3	b 2 = 45,2083	0,431406	85,5631	0,000211445
z 2	b 3 = –37,5229	0,431406	62,2275	0,000111838
x 2	b 4 = 23,1658	0,431406	40,7398	4,79362·10 –5
z 4	b 5 = –19,0708	0,431406	33,0808	3,16065·10 –5
z 3	b 6 = –19,6574	0,431406	32,22	2,9983·10 –5
x 2 z 3	b 7 = –9,0094	0,431406	11,2035	3,62519·10 –6
z 2 x 4	b 8 = –9,27434	0,431406	10,5069	3,18838·10 –6
x 1 x 2	b 9 = 1,43465	0,431406	2,523	1,83848·10 –7
z 2 x 3	b 10 = 1,65431	0,431406	2,24004	1,44923·10 –7

b 0 = 28968,9
Уровень значимости для t -критерия – 0,05
Для степеней свободы V 1 = 108. Табличное значение t -критерия – 1,9821

В табл. 1 приведена распечатка критериев качества полученной многофакторной математической модели. Модель адекватна. Доля рассеивания, объясняемая моделью, весьма высока, т. к. модель высокоточная, изменчивость функции отклика велика, а ее случайная изменчивость сравнительно мала. Коэффициент множественной корреляции R весьма близок к 1 и устойчив, т. к. будучи скорректированным с учетом степеней свободы, практически не меняется. Статистическая значимость R весьма велика, т.е. модель очень информативна. Высокая информативность модели подтверждается также значением критерия Бокса и Веца. Коэффициенты модели максимально устойчивы: число обусловленности cond = 1. Полученная модель семантична в информационном смысле, т. к. все ее коэффициенты ортонормированны: они статистически независимы и могут сравниваться по абсолютной величине друг с другом. Знак коэффициента показывает характер влияния, а его абсолютная величина – силу влияния. Полученная модель наиболее удобна для интерпретации в предметной области.

Учитывая семантичные свойства полученной математической модели и доли участия каждого из эффектов модели в общей доле рассеивания, объясняемой моделью, можно провести содержательный информационный анализ формирования результата измерения исследуемых цифровых весов.

Превалирующая доля участия в результатах моделирования, равная 0,999557, создается линейным главным эффектом x 4 (с коэффициентом b 1 = –3715,13), т.е. измеряемым весом (табл. 2). Нелинейность z 4 (с коэффициентом b 5 = –19,07) сравнительно мала (3,16·10 –5) и ее учет в модели повышает точность измерения. Линейный эффект x 4 сравнительно слабо (3,19·10 –6) взаимодействует с квадратичным эффектом z 2 температуры окружающей среды: взаимодействие z 2 x 4 (b 8 = –9,27). Следовательно, математическая модель только от фактора измеряемый вес X 4 должна включать и эффект влияния температуры окружающей среды

ŷ 1 = 28968,90 – 3715,13x 4 – 19,07z 4 – 9,27z 2 x 4 ,

фактор которого X 2 является неуправляемым.

Напряжение питания изменяет результаты взвешивания в виде линейного эффекта x 3 (b 2 = 45,21) и квадратичного эффекта z 3 (b 6 = –19,66). Их суммарная доля участия составляет 2,41·10 –4 .

Температура окружающей среды влияет в виде квадратичного z 2 (b 3 = –37,52) и линейного x 2 (b 4 = 23,17) эффектов с суммарной долей участия 1,60·10 –4 .

Температура окружающей среды и напряжение питания образуют парное взаимодействие x 2 z 3 (b 7 = –9,01) c долей участия 3,63·10 –6 .

Доказательность статистической значимости двух последних эффектов x 1 x 2 и z 2 x 3 не может быть обоснована, т. к. они существенно меньше эффектов x 2 z 3 и z 2 x 4 , а обоснованное значение дисперсии воспроизводимости по результатам повторных опытов в представленных исходных данных, к сожалению, отсутствовало.

В табл. 2 приведены статистические характеристики коэффициентов регрессии. Отметим, что значения коэффициентов регрессии разделены на нормировочные коэффициенты ортогональных контрастов, которые не включены в приведенные формулы ортогональных контрастов. Этим и объясняется то, что при делении значений коэффициентов регрессии на их стандартную ошибку полученные значения t -критерия отличаются от приведенных правильно вычисленных значений этого критерия в табл. 2.

Рис. 1. Гистограмма остатков

На рис. 1 показана гистограмма остатков . Она сравнительно близка к нормальному закону распределения. В табл. 3 представлены численные значения остатков и их проценты отклонений. Временной график остатков (рис. 2) указывает на случайный характер изменения остатков от времени (последовательности) проведения опытов. Дальнейшее повышение точности модели не возможно. Анализ зависимости остатков от ŷ (расчетного значения) показывает, что наибольшие разбросы остатков наблюдаются для X 4 = 0 кгс (y = 32581...32730) и X 4 = 100 кгс (y = 25124...25309). Наименьший разброс при X 4 = 40 кгс. Однако статистическая значимость такого заключения требует знания обоснованного значения дисперсии воспроизводимости.

Рис. 2. Временной график остатков

Учет в математической модели разнообразных систематических погрешностей, нелинейностей, взаимодействий неуправляемых факторов позволил повысить точность средства измерения по критерию средней абсолютной погрешности аппроксимации до 0,012% – в 13,3 раза, а по критерию среднеквадратичной погрешности аппроксимации до 4,80 (табл. 1) – в 11,2 раза.

План эксперимента 2 2 //4 для средней абсолютной погрешности аппроксимации в % и полученные результаты при использованиии только средства измерения и средства измерения с математической моделью систематической погрешностей представлен в табл. 4.

Математическая модель для средней абсолютной погрешности аппроксимации, полученная по эксперименту 2 2 //4, со структурой модели (1) и результатам функционирования средства измерения без математической модели и с ее использованием, имеет вид

ŷ = 0,043 + 0,043x 1 ...0,037x 2 ...0,037x 1 x 2

где x 1 – ортогональный контраст фактора X 1 (СИ) – средство измерения;

x 2 – ортогональный контраст фактора X 2 (ММ) – математическая модель систематических погрешностей используемого средства измерения;

x 1 x 2 – взаимодействие факторов X 1 (СИ) и X 2 (ММ).

Таблица 3

Остатки и их проценты отклонений

1 – Номер опыта; 2 – Отклик по эксперименту; 3 – Отклик по модели; 4 – Остаток;
5 – Процент отклонения; 6 – Номер опыта; 7 – Отклик по эксперименту;
8 – Отклик по модели; 9 – Остаток; 10 – Процент отклонения

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	32581	32574,2	6,832	0,0210	55	32581	32576,6	4,431	0,0136
2	31115	31108,7	6,349	0,0204	56	31115	31111,1	3,948	0,0127
3	29635	29631,7	3,308	0,0112	57	29633	29634,1	–1,092	–0,0037
4	28144	28143,3	0,710	0,0025	58	28141	28145,7	–4,691	–0,0167
5	26640	26643,4	–3,445	–0,0129	59	26637	26645,8	–8,846	–0,0332
6	25128	25132,2	–4,159	–0,0165	60	25124	25134,6	–10,559	–0,0420
7	32625	32638,6	–13,602	–0,0417	61	32649	32641	7,997	0,0245
8	31175	31173,1	1,915	0,0061	62	31179	31175,5	3,514	0,0113
9	29694	29696,1	–2,126	–0,0072	63	29699	29698,5	0,473	0,0016
10	28208	28207,7	0,276	0,0010	64	28209	28210,1	–1,125	–0,0040
11	26709	26707,9	1,120	0,0042	65	26711	26710,3	0,719	0,0027
12	25198	25196,6	1,407	0,0056	66	25199	25199	0,006	0,0000
13	32659	32666,7	–7,680	–0,0235	67	32660	32669,1	–9,081	–0,0278
14	31199	31201,2	–2,163	–0,0069	68	31200	31203,6	–3,564	–0,0114
15	29723	29724,2	–1,204	–0,0040	69	29726	29726,6	–0,605	–0,0020
16	28241	28235,8	5,198	0,0184	70	28242	28238,2	3,797	0,0134
17	26741	26736	5,042	0,0189	71	26742	26738,4	3,642	0,0136
18	25232	25224,7	7,329	0,0290	72	25233	25227,1	5,928	0,0235
19	32632	32636,5	–4,543	–0,0139	73	32630	32637	–7,012	–0,0215
20	31175	31177,1	–2,086	–0,0067	74	31173	31177,6	–4,554	–0,0146
21	29705	29706,2	–1,185	–0,0040	75	29703	29706,7	–3,654	–0,0123
22	28225	28223,8	1,157	0,0041	76	28223	28224,3	–1,311	–0,0046
23	26734	26730,1	3,942	0,0147	77	26733	26730,5	2,474	0,0093
24	25233	25224,8	8,170	0,0324	78	25233	25225,3	7,702	0,0305
25	32710	32707,4	2,623	0,0080	79	32710	32707,8	2,155	0,0066
26	31251	31247,9	3,081	0,0099	80	31249	31248,4	0,612	0,0020
27	29777	29777	–0,019	–0,0001	81	29775	29777,5	–2,488	–0,0084
28	28294	28294,7	–0,676	–0,0024	82	28292	28295,1	–3,145	–0,0111
29	26799	26800,9	–1,891	–0,0071	83	26799	26801,4	–2,360	–0,0088
30	25297	25295,7	1,336	0,0053	84	25296	25296,1	–0,132	–0,0005
31	32730	32723,7	6,349	0,0194	85	32729	32724,1	4,880	0,0149
32	31269	31264,2	4,806	0,0154	86	31267	31264,7	2,338	0,0075
33	29794	29793,3	0,707	0,0024	87	29793	29793,8	–0,762	–0,0026
34	28310	28311	–0,951	–0,0034	88	28309	28311,4	–2,419	–0,0085
35	26814	26817,2	–3,166	–0,0118	89	26814	26817,6	–3,634	–0,0136
36	25309	25311,9	–2,938	–0,0116	90	25309	25312,4	–3,407	–0,0135
37	32616	32619,1	–3,053	–0,0094	91	32608	32616,2	–8,183	–0,0251
38	31152	31154,5	–2,525	–0,0081	92	31148	31151,7	–3,656	–0,0117
39	29677	29678,6	–1,555	–0,0052	93	29675	29675,7	–0,686	–0,0023
40	28192	28191,1	0,858	0,0030	94	28192	28188,3	3,727	0,0132
41	26696	26692,3	3,713	0,0139	95	26692	26689,4	2,582	0,0097
42	25189	25182	7,010	0,0278	96	25189	25179,1	9,880	0,0392
43	32713	32707,9	5,132	0,0157	97	32704	32705	–0,998	–0,0031
44	31244	31243,3	0,660	0,0021	98	31240	31240,5	–0,471	–0,0015
45	29770	29767,4	2,630	0,0088	99	29764	29764,5	–0,501	–0,0017
46	28285	28280	5,043	0,0178	100	28278	28277,1	0,912	0,0032
47	26784	26781,1	2,898	0,0108	101	26778	26778,2	–0,233	–0,0009
48	25262	25270,8	–8,805	–0,0349	102	25262	25267,9	–5,935	–0,0235
49	32717	32710,7	6,318	0,0193	103	32710	32707,8	2,187	0,0067
50	31249	31246,2	2,845	0,0091	104	31245	31243,3	1,715	0,0055
51	29770	29770,2	–0,185	–0,0006	105	29767	29767,3	–0,315	–0,0011
52	28280	28282,8	–2,772	–0,0098	106	28279	28279,9	–0,903	–0,0032
53	26779	26783,9	–4,917	–0,0184	107	26779	26781	–2,048	–0,0076
54	25267	25273,6	–6,619	–0,0262	108	25267	25270,8	–3,750	–0,0148
Средняя абсолютная относительная погрешность в процентах – 0,0119.

Таблица 4

План эксперимента 2 2 //4

Анализ коэффициентов модели показывает, что фактор X 2 (ММ) уменьшает систематическую погрешность не только в виде главного эффекта x 2 (коэффициент b 2 = –0,037), но и за счет взаимодействия (эмергентности) факторов X 1 (СИ) · X 2 (ММ) (коэффициент b 12 = –0,037).

Аналогичную модель можно получить и для критерия среднеквадратичной погрешности аппроксимации.

Для фактической реализации полученной модели (2) необходимо измерить и использовать информацию о температуре окружающей среды и напряжении питания с помощью датчиков и провести расчет результата с применением микропроцессора.

Результаты математического моделирования шестикомпонентных тензометрических измерительных систем

В рассмотрено математическое моделирование шестикомпонентных тензометрических измерительных систем. Предложенный метод был внедрен на Киевском механическом заводе (ныне Авиационный научно-технический комплекс им. О.К. Антонова). Впервые в практике проведения аналогичных измерений этот метод в значительной степени позволил исключить последствия физических несовершенств измерительных систем, проявляющихся в виде взаимодействия между каналами, влияния других каналов на рассматриваемый канал, нелинейностей и изучить структурные взаимосвязи различных каналов.

Использование метода математического моделирования в реальных условиях предприятия показало, что время проведения опытов сокращается в 10...15 раз; существенно (до 60 раз) повышается эффективность обработки измерительной информации; в 2...3 раза сокращается количество исполнителей, занятых в измерительных экспериментах.

Итоговый вывод о целесообразности использования изложенного подхода зависит от экономической эффективности следующих сравниваемых вариантов.

Высокоточного средства измерения и, следовательно, более дорогого, используемого в нормированных (стандартных) условиях, которые необходимо создать и поддерживать.

Средства измерения менее высокой точности, используемого в не нормированных (не стандартных) условиях с применением полученной математической модели.

Основные выводы

1) Успешно реализованный системный подход в математическом моделировании средства измерения позволил учесть влияние факторов внешней – температура окружающей среды – и внутренней среды – напряжение питания. Эффективность извлечения полезной информации из исходных данных составила 100%.

2) В полученной многофакторной математической модели, структура которой априори исследователю не была известна, в удобной для интерпретации в предметной области форме раскрыты нелинейность средства измерения и системное влияние факторов (эмергентность) внешней и внутренней среды. В реальных условиях эксплуатации стабилизация этих факторов с необходимой точностью не представляется возможной.

3) Учет математической модели систематических погрешностей позволил повысить точность измерений по критерию средней абсолютной погрешности в 13,3 раза и по критерию среднеквадратичной погрешности в 11,2 раза.

Наши предложения

Лаборатория экспериментально-статистических методов и исследований готова предоставить алгоритмическое, программное обеспечение для получения многофакторных математических моделей, их анализа и интерпретации и передать накопленный опыт для использования при решении конкретных производственных и научных задач.

Мы готовы решить Ваши проблемы в указанных и многих других областях путем использования созданных за многие годы алгоритмов, программного обеспечения, ноу-хау; учебы и передачи опыта Вашим специалистам.

Литература:

1. Рыбаков И.Н. Основы точности и метрологического обеспечения радиоэлектронных измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1990. – 180 с.
2. Радченко С.Г. Математическое моделирование технологических процессов в машиностроении.– К.: ЗАО «Укрспецмонтажпроект», 1998. – 274 с.
3. Алимов Ю.И., Шаевич А.Б. Методологические особенности оценивания результатов количественного химического анализа // Журнал аналитической химии. – 1988. – Вып. 10. – Т. XLIII. – С. 1893...1916.
4. Планирование, регрессия и анализ моделей PRIAM (ПРИАМ). SCMC–90; 325, 660, 668 // Каталог. Программные продукты Украины. Catalog. Software of Ukraine. – К.: СП «Текнор». – 1993. – C. 24...27.
5. Зинченко В.П., Радченко С.Г. Метод моделирования многокомпонентных тензометрических измерительных систем. – К.: 1993. – 17 с. (Препр. / АН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова; 93...31).